磁共振

核磁矩與角動量的關係

μ = γℏI

γ 為磁旋比（常數），I 為以 ℏ 為單位量度的核角動量。

磁共振吸收的基本條件

ℏω = γℏB₀ → ω = γB₀

B₀ 為靜磁場。對質子 γ = 2.675×10⁴ s⁻¹ G⁻¹ = 2.675×10⁸ s⁻¹ T⁻¹，故 ν(MHz) = 4.258 B₀(kilogauss) = 42.58 B₀(tesla)（式 4a）；電子自旋則為 ν(GHz) = 2.80 B₀(kilogauss) = 28.0 B₀(tesla)（式 4b）。

磁化的陀螺（進動）運動方程

dM/dt = γ M × B_a

M = Σμ_i 為單位體積的核磁化，B_a 為外加磁場。由 ℏ dI/dt = μ × B_a（式 5）對所有核求和而得，前提是只有單一同位素（單一 γ）重要。

Bloch 方程（含縱向與橫向弛豫）

dM_x/dt = γ(M×B)_x − M_x/T₂; dM_y/dt = γ(M×B)_y − M_y/T₂; dM_z/dt = γ(M×B)_z + (M₀ − M_z)/T₁

T₁ 為縱向（自旋–晶格）弛豫時間，T₂ 為橫向（失相）弛豫時間，M₀ = χ₀B₀ 為平衡磁化。方程不對 x, y, z 對稱，因系統被沿 ẑ 的靜場所偏置。書中註明 Bloch 方程只是合理近似而非嚴格，未能描述全部固體中的自旋現象。

自由進動解與共振半高半寬

M_x = m e^{−t/T′} cos ωt, M_y = −m e^{−t/T′} sin ωt; ω₀ = γB₀, T′ = T₂; (Δω)_{1/2} = 1/T₂

吸收功率為 𝒫(ω) = ωγM_zT₂B₁² / [1 + (ω₀ − ω)²T₂²]（式 19），B₁ 為旋轉射頻場振幅。運動類比於二維阻尼諧振子。

剛性晶格的偶極線寬

ΔB = [3(μ·r₁₂)r₁₂ − μ r₁₂²] / r₁₂⁵; B_i ≈ μ/a³

μ 為鄰近磁偶極矩，r₁₂ 為兩偶極間位置向量，a 為最近鄰間距。對間距 2 Å 的質子，B_i ≈ 2 gauss = 2×10⁻⁴ tesla（p.371）。轉換到 SI 需將右式乘以 μ₀/4π。

運動窄化（motional narrowing）

T₂ = 1/(γ²B_i²τ); Δω = 1/T₂ = (Δω)₀² τ

τ 為局域場隨機翻轉（原子跳躍）的特徵時間，(Δω)₀ ≈ γB_i 為剛性晶格線寬。成立條件為 (Δω)₀τ ≪ 1。此結果與剛性晶格的 T₂ ≈ 1/γB_i 截然不同。

接觸超精細交互作用

U = −μ_I·B̄ ≅ γℏμ_B|ψ(0)|² I·S; U = a I·S

|ψ(0)|² 為電子波函數在核位置的機率密度，μ_B = eℏ/2mc 為 Bohr 磁子，a 為超精細常數，I 為以 ℏ 為單位的核自旋。因球殼平均場為零，只有 s 電子（L = 0）貢獻接觸項。

Knight 位移

K = −ΔB/B₀ = a χ_s / (g_N μ_B γ_I ℏ)

χ_s 為傳導電子的 Pauli 自旋磁化率，a 為超精細耦合常數，γ_I 為核磁旋比。近似上 K ≈ χ_s|ψ(0)|²/N，即 Pauli 磁化率再乘上核位置電子濃度與平均電子濃度之比。

鐵磁共振（均勻模）與形狀效應

ω₀ = γ{[B₀ + (N_y − N_z)M][B₀ + (N_x − N_z)M]}^{1/2}; 垂直薄板 ω₀ = γ(B₀ − 4πM); 平行薄板 ω₀ = γ[B₀(B₀ + 4πM)]^{1/2}

N_x, N_y, N_z 為橢球的去磁因子，M 為磁化，B₀ 為外加靜場。球體 N_x = N_y = N_z 時退化為 ω₀ = γB₀。薄膜自旋波共振再加上交換項 Dk²，k = nπ/L（式 44）。

反鐵磁共振頻率

ω₀² = γ² B_A (B_A + 2B_E)

B_A = 2K/M 為異向場（K 為異向能密度、M = |M₁| = |M₂|），B_E = λM 為交換場。此為零外加磁場、單軸反鐵磁的結果。

Maser 作用條件與交換窄化

n_u − n_l > V ΔB / (8πμQ) （CGS）; 交換窄化 Δω ≈ (Δω)₀² / ω_ex

n_u、n_l 為上、下能階的原子數，V 為腔體體積，Q 為腔體品質因子，μ 為磁矩，ΔB 由 μΔB = ℏΔω 定義。交換窄化式中 ω_ex ≈ J/ℏ 扮演跳躍頻率 1/τ 的角色，(Δω)₀² = γ²⟨B_i²⟩ 為無交換時的靜態偶極線寬平方（p.386）。