本節要解決的問題：從「三點定一面」到指標
原文的起手式是一個純幾何事實，逐字是：「The orientation of a crystal plane is determined by three points in the plane, provided they are not collinear.」三個不共線的點就唯一決定一個平面的取向。
原文接著指出，如果這三個點各自落在一根晶軸上，那麼「the plane could be specified by giving the coordinates of the points in terms of the lattice constants a₁, a₂, a₃」，也就是直接報三個截距即可。截距法在幾何上完全夠用，卻不是本書採用的方式。
轉折只有一句，逐字是：「However, it turns out to be more useful for structure analysis to specify the orientation of a plane by the indices determined by the following rules (Fig. 13).」請注意 for structure analysis 這個限定語 —— 結構分析指的就是第 2 章的繞射。Kittel 在此沒有展開論證，只是宣告倒數指標在繞射脈絡下比截距好用；完整的理由要等倒晶格登場才看得清楚（見後面標為 derived 的區塊）。
還要先建立一個心理圖像：晶面在晶體裡不是孤立的一張紙，而是一整族互相平行、等間距、鋪滿整顆晶體的原子面。原文稍後明說「The indices (hkl) may denote a single plane or a set of parallel planes」—— 指標編的是「這一族面」的取向。
規則一：在晶軸上量截距，單位是晶格常數
第一條規則逐字是：「Find the intercepts on the axes in terms of the lattice constants a₁, a₂, a₃. The axes may be those of a primitive or nonprimitive cell.」兩個細節必須抓住。
第一，截距一律以晶格常數為單位，不是以 Å 或 nm 為單位。某面切 a₁ 軸於 3a₁ 的位置，記下的數字是 3。這個無因次化把指標變成純取向資訊，與材料的實際尺寸脫鉤：矽的 (111)、銅的 (111)、NaCl 的 (111) 指的是同一種取向，只是實際面間距不同。
第二，原文特別加註「The axes may be those of a primitive or nonprimitive cell.」這句在實務上極重要：晶面指標不是絕對的，它相對於你選的那組軸而定義。同一張物理上的原子面，用 fcc 的立方慣用軸算出來的指標，和用 p.11 圖 11 那組菱面體初基軸（原文給的是 a₁ = ½a(x̂+ŷ)、a₂ = ½a(ŷ+ẑ)、a₃ = ½a(ẑ+x̂)，軸間夾角 60°）算出來的指標，數字完全不同。立方系的慣例（也是原文圖 14 所採用的）是用慣用立方軸，所以看到 (100)、(111) 預設就是立方軸。報指標而不交代軸的選擇，對方無從還原你指的是哪張面。
規則二：取倒數，再化成最小整數比
第二條規則逐字是：「Take the reciprocals of these numbers and then reduce to three integers having the same ratio, usually the smallest three integers. The result, enclosed in parentheses (hkl), is called the index of the plane.」
原文的示範例逐字是：「For the plane whose intercepts are 4, 1, 2, the reciprocals are ¼, 1, and ½; the smallest three integers having the same ratio are (142).」自己動手驗一次：¼ : 1 : ½，三項同乘 4（分母 4、1、2 的最小公倍數）得 1 : 4 : 2，故指標為 (142)。
無窮截距的約定，原文逐字是：「For an intercept at infinity, the corresponding index is zero.」一個面若平行於某根軸，它與該軸永不相交，截距為 ∞，倒數 1/∞ = 0，該位指標即為 0。這不是額外多出來的一條規則，而是取倒數這個動作的自然產物。
最後注意原文寫的是 usually the smallest three integers —— usually，不是 always。原文只寫了 usually 而未說明理由；（以下為我的推論）從原文後面對 (200) 的定義可以反推，非最簡指標在繞射脈絡下另有意義。（(200) 是原文後面確實出現的例子；(400) 則是我補的例子，本章原文並未出現。）
為什麼一定要取倒數？把動機補完補推導
先劃清界線：原文對「為什麼要取倒數」給的正面理由只有一句 it turns out to be more useful for structure analysis，外加一個具體好處（∞ 截距變成 0）。以下五步論證是我替你補完的推理鏈，書中並未逐條寫出，請以 derived 看待。
把這五步倒過來看就很清楚：Miller 指標不是「截距的怪寫法」，而是倒空間的整數座標。初學時覺得繞，是因為倒空間還沒登場。讀到第 2 章倒晶格那一節時請回頭重看本節，兩邊會接起來 —— 那時 (hkl) 會從「三個約定俗成的數字」變成「一個向量」。
- 不取倒數會壞在哪：一個平行於 a₃ 軸的面，截距是 (1, 1, ∞)。用截距當標籤，標籤裡就得塞一個 ∞；而任何含 ∞ 的算術（比較、約分、當成向量分量去做內積）都當場失效。晶體中平行於某軸的面並非罕見特例 —— 所有 (hk0) 型的面都是 —— 所以這是常態，不是邊界情況。
- 取倒數把 ∞ 映成 0：1/∞ = 0。奇異點消失，標籤永遠是三個有限整數，可以放進向量、可以做四則運算。原文只把它寫成一條約定（For an intercept at infinity, the corresponding index is zero），並沒有說這是取倒數的好處 —— 這層意義是我加的。
- 取倒數加上約分，自動把「同一族平行面」收斂成同一個名字。截距 (1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3) 是三張位置不同的平行面，倒數後分別是 (1,1,1)、(½,½,½)、(⅓,⅓,⅓)，化成最小整數比後全都是 (111)。若用截距當標籤，同一族面會有無窮多個名字；取倒數之後，「位置」被約分吃掉，只剩下「取向」—— 而取向正是我們要編碼的東西。
- 取倒數讓指標與面間距成反比，而繞射量到的正是面間距。(hkl) 這族面在 a₁ 軸上把單位長切成 h 等分、在 a₂ 軸上切成 k 等分、在 a₃ 軸上切成 l 等分（從下一個 equation 區塊的 hx + ky + lz = n 可直接看出：固定 y = z = 0，相鄰兩張面交 a₁ 軸於 x = n/h 與 x = (n+1)/h）。指標愈大 → 切得愈細 → 面間距 d 愈小。Bragg 繞射的角度由 d 決定，所以用一個與 d 成反比的整數組當標籤，遠比用與 d 成正比的截距自然。
- 最深的理由（本節尚未出現，要到第 2 章倒晶格才會建立）：(hkl) 這三個整數就是倒晶格向量 G = h b₁ + k b₂ + l b₃ 的分量，而 G 垂直於該晶面族、長度為 2π/d。換句話說，取倒數不是為了方便而人為設計的技巧 ——「一族晶面」這個東西在倒空間裡本來就是一個格點，Miller 指標就是那個格點的座標。原文說的 more useful for structure analysis 指的就是這件事：繞射實驗直接量的是倒空間，用倒空間的座標替晶面命名，實驗與記號才對得上。
晶面族的平面方程（指標的代數定義）
h x + k y + l z = n , n ∈ ℤ （x, y, z 以 a₁, a₂, a₃ 為單位的無因次座標）
p.12h, k, l：晶面指標。x, y, z：空間中一點的座標，以晶格常數 a₁, a₂, a₃ 為單位 —— 與原文 p.11 描述晶胞內原子位置時所用的是同一套無因次座標（原文：each coordinate is a fraction of the axial length a₁, a₂, a₃）。n：整數，標定這一族平行面中的第幾張；n = 0 的那張通過原點。
圖 13 在說什麼：(233) 這個例子
原文圖 13 的圖說逐字是：「This plane intercepts the a₁, a₂, a₃ axes at 3a₁, 2a₂, 2a₃. The reciprocals of these numbers are ⅓, ½, ½. The smallest three integers having the same ratio are 2, 3, 3, and thus the indices of the plane are (233).」
圖的內容（網頁不放圖，以文字還原）：三根由共同原點發出的晶軸 a₁、a₂、a₃，軸上標有以晶格常數為單位的刻度（抽取到的文字中可見 1、2、3 的刻度數字）；一張平面把三根軸分別截在 a₁ 的第 3 格、a₂ 的第 2 格、a₃ 的第 2 格，三個截點所張成的三角形就是圖中那張平面。
照規則逐步走一次：
截距（以晶格常數為單位）→ 3, 2, 2
取倒數 → ⅓, ½, ½
化為相同比值的最小三整數 → 同乘 6（3、2、2 的最小公倍數）得 2, 3, 3
寫進圓括號 → (233)
這個例子刻意挑了「倒數不是整數、必須通分」的情形，用來示範規則二的後半段（reduce to three integers having the same ratio）。另外注意指標的順序綁定軸的順序：a₁ → h、a₂ → k、a₃ → l，不可重排；(233) 與 (323) 是兩張取向不同的面。
負指標的上橫線記法，與 {hkl} 花括號
負截距的處理，原文逐字是：「If a plane cuts an axis on the negative side of the origin, the corresponding index is negative, indicated by placing a minus sign above the index: (hk̄l).」（校註：PDF 文字層完全不帶上橫線，此處依 p.13 的算繪影像確認橫線落在第二位的 k 正上方，故還原為 (hk̄l)。）負號寫在該位數字的正上方（上橫線，唸作 bar），不是寫在前面。
原文接著列出立方晶的六個立方面：(100)、(010)、(001)、(1̄00)、(01̄0)、(001̄)。（校註：PDF 文字抽取時上橫線字元遺失，後三項在抽取結果中顯示為 (100)、(010)、(001)；依原句 The cube faces of a cubic crystal are … 共六項、前三項已是正號形式，後三項即對應的負指標，此處已還原上橫線。）
等價面族的記號，原文逐字是：「Planes equivalent by symmetry may be denoted by curly brackets (braces) around indices; the set of cube faces is {100}.」也就是：花括號 {hkl} 代表「由晶體對稱操作互相聯繫、物理上不可區分的一整組 (hkl) 面」。以立方晶為例，{100} 這一個記號一口氣代表上述六個立方面。關鍵詞是 equivalent by symmetry —— 等價與否取決於晶體的對稱性，不是看數字長得像不像。
圖 14 與 (200) vs (100)：指標不只編取向
原文圖 14 的圖說逐字是：「Indices of important planes in a cubic crystal. The plane (200) is parallel to (100) and to (1̄00).」（校註：抽取結果中最後一項的上橫線遺失、顯示為 (100)，依上下文還原為 (1̄00)。）圖中標出的標籤共五個：(100)、(110)、(111)、(200)、(1̄00)。
圖的內容（以文字還原）：一排立方晶胞的小圖，每一格畫出一張陰影平面在立方體中的位置 —— (100) 是立方體的一個面；(110) 沿一條面對角線斜切整個立方體；(111) 截去立方體的一角；(200) 與 (100) 平行，位在立方體沿 a₁ 方向的正中央（切 a₁ 於 ½a）；(1̄00) 是與 (100) 相對的那一面。
(200) 與 (100) 的差別，原文講得很明確：「When we speak of the (200) plane we mean a plane parallel to (100) but cutting the a₁ axis at ½a.」（校註：原文中的 ½ 在抽取結果裡以獨立的「1 2」浮出，此處還原。）
把兩件事擺在一起看就清楚了：(100) 與 (200) 的取向完全相同 —— 法線方向一樣、互相平行 —— 差別只在截距，(100) 切 a₁ 於 a，(200) 切 a₁ 於 ½a。因此 (200) 這族面比 (100) 密一倍，面間距減半。
（以下為我的補充，非原文）：若只論取向，(200) 是多餘的；原文之所以保留它、之所以在規則二寫 usually 而非 always，完整理由要到第 2 章繞射才會出現，但可以先記住結論：面間距不同就是不同的反射，(200) 與 (100) 的 Bragg 角不同，不能約分掉。
[uvw] 晶向，以及「立方晶中 [hkl] ⊥ (hkl)」
晶向的記號，原文逐字是：「The indices [uvw] of a direction in a crystal are the set of the smallest integers that have the ratio of the components of a vector in the desired direction, referred to the axes.」
請注意這個定義跟晶面完全不同：晶向指標是「向量分量本身的最小整數比」，沒有取倒數這一步。原文給的兩個例子逐字是：「The a₁ axis is the [100] direction; the −a₂ axis is the [01̄0] direction.」（校註：抽取結果中該項顯示為 [010]，上橫線遺失；依原句 the −a₂ axis 還原為 [01̄0]。）方向用方括號，負方向同樣用上橫線。
本節最後一句是後面各章反覆使用的關鍵性質，原文逐字是：「In cubic crystals the direction [hkl] is perpendicular to a plane (hkl) having the same indices, but this is not generally true in other crystal systems.」
這句話的兩半都要記牢。前半：在立方晶中，數字相同的 [hkl] 與 (hkl) 互相垂直，所以 [100] ⊥ (100)、[111] ⊥ (111)。後半：原文明確加了限制 —— but this is not generally true in other crystal systems —— 這個對應在非立方晶系一般不成立。常有人把「[hkl] 就是 (hkl) 的法線」當通則套用，那是錯的；原文在這裡把話講死了。
四種括號一次分清：(hkl)、{hkl}、[uvw]、⟨uvw⟩我的判讀
先聲明：(hkl)、{hkl}、[uvw] 三種本節原文都有明文定義；⟨uvw⟩ 角括號本節原文並未出現，是晶體學通行的記號，我在此一併補上以便對照，請注意它不是本節內容。
(hkl) 圓括號 —— 一張晶面，或一族互相平行的晶面。原文：「The indices (hkl) may denote a single plane or a set of parallel planes.」建構方式：截距 → 取倒數 → 最小整數比。
{hkl} 花括號 —— 由對稱性互相等價的整組晶面。原文：「the set of cube faces is {100}」。立方晶中 {100} 有 6 個成員、{111} 有 8 個、{110} 有 12 個。
[uvw] 方括號 —— 一個晶向。建構方式：取該方向向量的分量 → 最小整數比（不取倒數）。
⟨uvw⟩ 角括號 —— 由對稱性互相等價的整組晶向（我的補充）。立方晶中 ⟨100⟩ 有 6 個方向、⟨111⟩ 有 8 個、⟨110⟩ 有 12 個。
最容易搞混的四件事：
一、圓括號 vs 方括號＝面 vs 方向。這是最根本的分野，而且兩者建構方式不同：面要取倒數，方向不取。同樣寫成 111，(111) 與 [111] 是兩個不同的幾何物件（一張面、一個方向），只有在立方晶中它們才互相垂直（原文明說）。
二、圓/方括號 vs 花/角括號＝具體一個 vs 一整族。(100) 是某一張特定的面，{100} 是六張立方面的集合。多數場合兩者混用不出事，但在需要區分正反面、或討論極性面（例如 GaAs 的 (111) 面與 (1̄1̄1̄) 面）時，絕不能互換。
三、負號寫上面、不寫前面。指標是三個數字緊排不加逗號的（寫 (142)，不寫 (1,4,2)），若寫成 (-100) 會與三位數指標混淆；上橫線把負號綁死在它所屬的那一位上。指標本身超過個位數時（例如 (12 0 0)）才需要另加空格或逗號，這是純排版慣例。
四、指標順序綁定軸的順序。a₁→h、a₂→k、a₃→l，不能重排。(213) 與 (321) 在立方晶中同屬 {123} 族（對稱等價），但它們仍是兩張不同的面。
證明「[hkl] ⊥ (hkl)」只在立方晶成立補推導
原文只給了結論（In cubic crystals the direction [hkl] is perpendicular to a plane (hkl) …），沒有給證明，也沒有說明換到非立方晶系為什麼會失效。以下是我補的推導與反例。
實務上的教訓：只要不是立方晶，「面的法線方向」就必須另外算（用倒晶格向量），不能直接把 (hkl) 的數字抄成 [hkl]。矽、鍺、GaAs、Cu、NaCl 都是立方晶，所以在半導體與多數金屬的日常討論裡這個捷徑幾乎永遠成立 —— 也正因為如此，很多人從沒意識到它有前提；一碰到石墨、ZnO、GaN（六方）或低對稱相的氧化物就會出錯。要補一個例外：失效的是一般的 (hkl)，h、k、l 中有兩個為零的軸向面（(100)、(010)、(001)）在正交、四方晶系裡法線仍與同指標晶向平行，所以四方晶的 [001] ⊥ (001) 照樣成立。
- 設定：立方晶取 a₁ = a x̂、a₂ = a ŷ、a₃ = a ẑ，三軸互相正交且等長 |a₁| = |a₂| = |a₃| = a。笛卡兒座標與晶軸重合。
- (hkl) 這族面的方程（見前面的 equation 區塊）在無因次座標下是 h x + k y + l z = n。換成實際長度座標 X = a x、Y = a y、Z = a z，得 (h/a) X + (k/a) Y + (l/a) Z = n。
- 平面 A X + B Y + C Z = D 的法向量是 (A, B, C)。故此面的法向量正比於 (h/a, k/a, l/a)，三個分母都是同一個 a，可整個約掉 → 法向量 ∝ (h, k, l)。
- 另一方面，[hkl] 這個晶向的向量是 R = h a₁ + k a₂ + l a₃ = a (h x̂ + k ŷ + l ẑ)，方向也正比於 (h, k, l)。
- 兩者方向相同，故 [hkl] ⊥ (hkl)。證畢。整段推導用到兩個假設：三軸互相正交（步驟 3 才能直接讀出法向量），且三軸等長（步驟 3 的三個 1/a 才能一起約掉）。少任何一個就不成立。
- 反例一（正交但不等長，正交晶系）：取 a₁ = a x̂、a₂ = b ŷ、a₃ = c ẑ。同樣推導得面法線 ∝ (h/a, k/b, l/c)，而晶向 R ∝ (h a, k b, l c)。對一般的 (hkl) 而言兩者並不平行；要讓「所有」的 (hkl) 都平行，充要條件是 a = b = c，也就是只有立方晶才保證得到。但軸向面等特例在正交、四方晶系仍然成立：h、k、l 中有兩個為零時（例如 (100)、(010)、(001)），法線 ∝ (1/a, 0, 0) 與晶向 ∝ (a, 0, 0) 對任意 a、b、c 都平行，所以四方晶的 [001] 依舊垂直於 (001)。具體算一次：設 a = 2b，看 (110) 與 [110]。法線 ∝ (1/a, 1/b, 0) = (1/a, 2/a, 0) ∝ (1, 2, 0)；晶向 ∝ (a, b, 0) = (a, a/2, 0) ∝ (2, 1, 0)。cos θ = (1·2 + 2·1)/(√5 · √5) = 4/5，θ ≈ 36.9°。[110] 與 (110) 的法線差了將近 37°，完全不垂直。
- 反例二（不正交，六方或單斜晶系）：軸間夾角不是 90° 時，即使三軸等長，面法線與同指標晶向一般也不平行。通則是：(hkl) 的法線永遠平行於倒晶格向量 G = h b₁ + k b₂ + l b₃（第 2 章），而 [hkl] 是正晶格向量 R = h a₁ + k a₂ + l a₃；只有當倒晶格基底與正晶格基底一一平行（bᵢ ∥ aᵢ，三軸互相正交的晶系 —— 正交、四方、立方 —— 都滿足）且尺度一致（等長，立方晶才滿足）時，G 與 R 才平行。
立方晶的面間距（本節外推：第 2 章結果）
d(hkl) = a / √(h² + k² + l²)
p.43d(hkl)：(hkl) 這族平行面相鄰兩張之間的垂直距離。a：立方晶格常數。h, k, l：晶面指標；此處不必互質 —— (200) 與 (100) 代入會得到不同的 d，這正是重點。
立方晶的 (100)、(110)、(111) 各是什麼面我的判讀
原文圖 14 只標出了這幾個面的名字，沒有展開它們各自長什麼樣、為什麼重要。以下是我的補充。以邊長 a 的立方晶胞為參考：
(100)：截距 (1, ∞, ∞) → 倒數 (1, 0, 0)。就是立方體的一個面，正方形，邊長 a，面積 a²。法線沿 [100]。立方晶共 6 個這樣的面，構成 {100}。這是矽晶圓最主流的表面取向（CMOS 用 (100) 晶圓，主因是 Si/SiO₂ 界面態密度最低）。
(110)：截距 (1, 1, ∞) → 倒數 (1, 1, 0)。它通過立方體上下兩條相對的稜，沿一條面對角線把整個立方體斜切成兩半，切面是長方形，邊長 a × √2 a，面積 √2 a² ≈ 1.414 a²。法線沿 [110]，與 [100] 夾 45°。立方晶共 12 個，構成 {110}。FinFET 的鰭側壁通常就是 {110} 面 —— 即 (100) 晶圓上鰭沿 ⟨110⟩ 方向排列時的情形。
(111)：截距 (1, 1, 1) → 倒數 (1, 1, 1)。它把立方體切掉一個角，切面是正三角形，邊長為立方體的面對角線 √2 a，面積 (√3/2) a² ≈ 0.866 a²。法線沿體對角線 [111]，與三根軸的夾角相同，cos θ = 1/√3 → θ ≈ 54.74°。立方晶共 8 個，構成 {111}。在 fcc 中 (111) 是最密堆積面；在鑽石結構的矽中 {111} 是解理面，也是 KOH 非等向濕蝕刻幾乎停住的面 —— MEMS 上 V 型槽的來源。
一個檢查取向直覺的小技巧：指標裡零的個數＝該面所平行的軸的根數。(100) 有兩個零 → 平行兩根軸、只截一根，切得最「正」；(110) 有一個零 → 平行一根、截兩根；(111) 沒有零 → 三根都截、一根都不平行，切得最「斜」。
常見誤解清單我的判讀
以下是我整理的錯誤清單，都是讀完本節後最常犯的：
一、把 (hkl) 當成「某三個原子的座標」。指標編的是取向（以及面間距），不是位置。同一族 (111) 面有無窮多張，指標不告訴你是哪一張。
二、忘了截距要先換算成晶格常數的倍數。拿實際長度（Å）去取倒數，得到的數字毫無意義。
三、以為指標一定互質。原文寫的是 usually the smallest three integers。(200)、(222)、(400) 在繞射脈絡下都是合法且必要的標記。
四、把 [hkl] ⊥ (hkl) 當成普遍定律。原文明說這只在立方晶成立（but this is not generally true in other crystal systems）。
五、忽略「軸的選擇」。原文明言軸可以是初基或非初基晶胞的軸（The axes may be those of a primitive or nonprimitive cell）。同一張面在 fcc 慣用軸與 fcc 初基軸下的指標不同；讀文獻時要確認對方用哪一組。
六、把負號寫在前面。(-110) 在排版上容易被誤讀，學術寫作一律用上橫線 (1̄10)。
七、混用 (hkl) 與 {hkl}。討論表面極性、討論某一張特定界面時，兩者不可互換。
八、以為 (hkl) 與 (h̄k̄l̄) 是同一張面。它們屬於同一族平行面、面間距相同，但法線方向相反。在非中心對稱晶體（GaAs、ZnO、GaN）中，(111) 與 (1̄1̄1̄) 的表面終止原子種類、表面化學、蝕刻速率都截然不同。
九、看到 (200) 就自動約成 (100)。約分會把面間距的資訊丟掉，這在繞射脈絡下是實質錯誤。
預防針：六方晶的四指標 (hkil)我的判讀
本節原文只講三指標系統 (hkl)，沒有提到六方晶常用的四指標（Miller–Bravais）記法。但因為前一節（p.11 圖 12）剛講完六方系的初基晶胞，讀者很容易在別處看到 (0001) 這種四位數字時卡住，這裡先打個預防針 —— 以下全為我的補充，不是本節原文。
六方晶的基面上有三根互成 120° 的等價軸，若只用兩根基面軸的三指標系統，會破壞這個對稱性：本來由對稱互相等價的面，指標數字看起來卻不成套（例如同一族的面會寫成 (100)、(010)、(1̄10) 這種看不出等價的樣子）。Miller–Bravais 的做法是在基面上多引一根軸，寫成 (hkil)，並有恆等式 i = −(h + k)。第三位 i 不帶新資訊（它由前兩位完全決定），純粹是為了讓對稱等價的面在數字上也一眼看得出等價；基面就寫成 (0001)。
遇到 (hkil) 時只要記住 i = −(h + k)，就能與三指標自由互換。
這一節之後會在哪裡用到我的判讀
以下為我的補充，章節對應依本書目次，細節請以各該章原文為準。Miller 指標在本節只是記號，它的回報在後面：
第 2 章（繞射）：Bragg 條件 2d sinθ = nλ 裡的 d 就是 d(hkl)；替每個繞射峰找出它的 (hkl)（indexing）是結構分析的第一步。更根本地，(hkl) 會被證明就是倒晶格向量 G = h b₁ + k b₂ + l b₃ 的分量 —— 本節「為什麼取倒數」的完整答案在那裡。
第 3 章（晶體鍵結與彈性常數；彈性波是該章最後的一段，自 p.80 起）：彈性常數 C_ijkl 是四階張量，即使在立方晶中也不是各向同性的，聲速沿不同晶向並不相同，因此討論彈性波必須先指定傳播方向 —— 那些方向的名字就是本節定義的 [uvw]。（書中只計算 [100] 與 [110] 兩個方向；[111] 是我的補充。）
第 9 章（費米面）：費米面畫在倒空間裡，布里淵區的邊界就是由一組 (hkl) 面所決定的垂直平分面；能帶圖上 Γ–X、Γ–L 等高對稱方向，對應的正是 ⟨100⟩、⟨111⟩ 這些晶向。
與熱／元件研究的接點（我的補充）：值得先分清楚哪些量會受晶面取向影響、哪些不會。熱容是純量，與取向無關；熱導率 κ 是二階張量，在立方晶中由對稱性（Neumann 原理）必然退化為各向同性，所以塊材矽的 κ 不看方向。但一旦進到鰭、奈米線這類特徵尺寸接近聲子平均自由程的結構，邊界散射就使「側壁是哪個晶面」「載子與聲子沿哪個晶向傳輸」變成實際會影響有效 κ 的參數 —— (100) 晶圓上沿 ⟨110⟩ 排列的鰭、側壁為 {110} 面，這句話裡的每一個括號都要照本節的規則讀。換句話說，做熱阻／熱容萃取時，晶面取向不是透過塊材材料常數進來的，而是透過幾何與界面進來的。